Radiosité différentielle:

Equation classique :

(1)

avec :

(2)

Notations :

· On oubliera les flèches sur les bords notés : k, l, h,….

· Sur la figure, h est dans le sens positif pour la facette i et dans le sens négatif pour la facette j (chaque facette est associée à une normale qui indique quel est le côté de la surface qui est regardé).

· On notera h = f(i,i’) la frontière commune aux facettes i et i’. h sera systématiquement dans le sens positif pour la 1^ère facette (i) et dans le sens négatif pour la seconde (i’)

· On notera de même l = f(j,j’) la frontière commune pour j et j’.

Remarque : dans la suite, on suppose les surfaces fermées et orientables (avec la normale précitée). Si ce n’est pas le cas, il y a des termes de bord. En effet un des concepts qui suit est que tout bord l appartient à deux facettes j et j’ connexes par l. l est orientée de façon positive par rapport à j et négative par rapport à j’. On note l = f(j,j’). On peut ainsi regrouper tous les bords l = f(j,j’) et –l = f(j’,j) en un seul (on choisit l ou –l arbitrairement et on le note). On note B=BORD l’ensemble de toux ces bords.

On notera b_l = B_j-B_j’ la différence des radiosité à la traversée du bord l = f(j,j’).

L’équation (1) se réécrit alors :

(3)

Remarque :

Si l’on considère que les surfaces ne sont pas fermées, il y a des termes de bord externe :

(3’)

Be = Bord externe est l’ensemble des l=f(j,vide).

Bi = Bord interne est l’ensemble des l=f(j,j’) avec j et j’ facettes existantes.

On continue à noter B = Be U Bi

On note h = f(i,i’), et b_h = B_i-B_i’.

On déduit de (3) et (3’) :

(4)

Avec et (ne dépend que de i)

D’où

Avec les bords :

(4’)

Si on note B_vide = 0, on peut continuer à noter b_l = B_j-B_vide pour l=f(j,vide) bord externe.

Donc avec ces notations, on a (4’’) identique à (4) :

(4’’)

Notations :

dans le cas de facettes carrées ou losanges

Et on a : A_i = dy dx.|sin(h,s(h))|

On notera dB_h = b_h = B_i-B_i’ et dE_h = e_h = E_i-E_i’ (h=f(i,i’)), élément différentiel dans la direction . Notons que pour les bords on utilise les mêmes notations en sachant bien qu’un des deux termes de radiosité est nul.

On déduit de (4) et (4’’), l’équation sur les dérivées :

(5)

Reprenons les termes L_k,l :

On note :

avec pour les vecteurs ,ouet pour et

Soit :

(6)

On note la translation de vecteur . On a : dans l’hypothèse d’invariance du maillage par translation.

(6) se réécrit alors :

On peut écrire :

(7)

Par la suite, nous noterons indifféremment (quand ce n’est pas préciser il s’agit donc de )

Remarquons que sous l’hypothèse de maillages invariants par translation.

Etude de

On a :

avec :

Soit :

Donc :

Les termes liés à k₁ et k₂ d’une part et k₃ et k₄ d’autre part sont infiniment proches et de signes opposés. Il y a donc un développement limité à réaliser.

On note :

Remarque :

pour les vecteurs ,ou

pour et

Calculons .

En fait :

En remarquant que

Or :

On va considérer pour la suite que :

et que

Les facteurs et sont et resteront strictement positifs et bornés (est ce légitime ?).

On a alors :

On note :

Avec :

De même :

Sachant que :

De la même façon :

Il reste donc dans le logarithme :

Un développement limité du logarithme ci-dessus par rapport à donne à l’ordre 2 :

On a donc

Donc :

Calculons .

En fait :

En remarquant que :

Or :

Avec

De même :

où

De même :

d’où :

Avec

Enfin :

où

Reprenons l’équation initiale, on avait :

soit

Un développement limité du logarithme de la double intégrale par rapport à donne, à l’ordre 2 :

Donc

Par intégration il reste :

Retour à l’équation générale où on a :

Avec :

Prenons une base orthonormé sur la surface i . On a alors :

On peut alors écrire :

d’où

Soit un repère direct en « h », on choisit les bords des facettes intelligemment .

Alors :

Dans la somme du second membre de l’équation il y a deux ( et ) pour chaque facette f de la scène (moins les bords). On peut donc écrire :

On néglige de ce fait une partie des segments pris en compte dans l’équation jaune ci-dessus mais ces termes tendent vers 0.

Or, d’après la définition même du gradient, on a :

ainsi que

En regroupant les deux termes de S_l , on peut obtenir pour les facettes internes :

En remarquant que , on peut écrire :

soit en remarquant également que :

De plus, quelque soit la base orthonormée prise sur la surface j, on a :

d’où :

et :

Or en notant :

on a enfin (grâce au triple produit scalaire) :

ou encore

De plus,

Pour exprimer le gradient de la facette i il faut donc calculer :

D’où :

On développe les fractions différentielles (la division est possible au vu des formules) à l’aide des formules jaunes ci dessus et on regroupe tous les termes d’une part dans le produit scalaire avec le gradient de la radiosité de j, et d’autre part avec le produit scalaire concernant le vecteur u_hl .

Sans tenir compte des termes de bords, cela donne :

Les calculs se simplifient en utilisant la base orthogonale en :

On modifie les sommes pour une double intégrale sur les surfaces (à vérifier)

En ce qui concerne les termes de bords on a :

avec :

En procédant au même regroupement que précédemment, on obtient (juste pour les termes de bord) :

On modifie la somme pour une simple intégrale de contour :

On prend le produit vectoriel par la normale à la surface :

d’où via le triple produit scalaire :

Et enfin,

Radiosité différentielle : Un exemple simple

Prenons un exemple simple d’un disque lumineux éclairant un plan infini.

On cherche à déterminer le gradiant de la radiosité du plan en un point M du plan P.

Le plan P aura pour indice de surface i. Le disque source aura pour indice j.

L’équation générale est :

et dans notre cas, on a :

Considérons que la radiosité sur la surface du disque est constante (alors le gradient est nul) et égale à l’émitance de la source (la radiosité est donc négligeable face à l’émitance). De plus, considérons que l’émitance du plan est nulle (et donc son gradient également). Il reste alors :

Mais cette équation peut s’écrire également :

avec

Prenons un nouveau repère, illustré sur la figure ci dessous, où l’axe des x est, par rapport au disque, porté par la projection du vecteur sur le plan du disque, l’axe des z étant la normale du disque . Le repère est donc :

qui sera aussi noté

Chapitre I. Fig 2 :Le nouveau repère attaché au disque

Dans ce repère, on peut noter :

Et dans ce cas, on a :

avec

ainsi :

Il nous reste donc à calculer et

Calcul de

Commençons déjà par exprimer le fait que si le rayon du disque tend vers 0 l’énergie reste constante, soit que :

soit :

On a donc :

I.1. I./ Calcul de la projection de sur l’axe

On a :

donc

La fonction dans l’intégrale étant symétrique alors :

Un développement limité à l’ordre 2 par rapport à donne :

D’où :

soit

La première intégrale est nulle, et la seconde vaut , on a donc :

et par simplification :

I.2. II./ Calcul de la projection de sur l’axe

La fonction dans l’intégrale étant antisymétrique, cette intégrale est donc nulle !

I.3. III./ Calcul de la projection de sur l’axe

C’est très rapide car :

I.4. III./ Expression de

Dans le repère choisi, vaut donc :

ce qui peut aussi s’écrire par :

Calcul de

Commençons déjà par exprimer le fait que si le rayon du disque tend vers 0 l’énergie reste constante, soit que :

soit :

On a donc :

Dans le repère, on a toujours :

avec

On note aussi :

D’après le triple produit vectoriel :

d’où :

et enfin

On a donc :

ou encore :

avec

I.5. I./ Calcul de la projection de sur l’axe

soit encore :

La fonction à l’intérieur de l’intégrale se décompose, par rapport au numérateur, en trois termes. Les deux premiers termes sont des fonctions symétriques alors que la troisième est antisymétrique. Il reste donc :

Evaluons le premier terme :

Un développement limité à l’ordre 2 par rapport au rapport donne :

d’où :

Là encore l’intégrale se décompose en quatre terme si on développe. Le second et le troisième font apparaître un qui s’annule par intégration et le quatrième est d’ordre 2 en . Il reste donc :

Evaluons le second terme :

Via le même développement limité, on obtient :

Là encore l’intégrale se décompose en quatre terme (après développement). Le premier terme fait apparaître un terme en qui s’annule par intégration et le quatrième est d’ordre 2 en . Il reste donc le second terme et le troisième :

soit

On a donc :

I.6. II./ Calcul de la projection de sur l’axe

soit

Cette intégrale se décompose donc en trois intégrale (via le numérateur). La première et la seconde possède deux fonctions antisymétrique et donc les intégrales valent donc toutes deux 0. Il reste :

Toujours d’après le développement limité vu au I., on a :

Or,

Et le deuxième terme est nul car :

On a donc :

I.7. III./ Calcul de la projection de sur l’axe

ou encore :

Seul le troisième terme est antisymétrique et s’annule, les deux premiers étant symétriques. Il reste donc :

Evaluons le premier terme :

Soit avec le DL :

Seul le premier terme est non nul, d’où :

Evaluons le second terme :

Soit avec le DL :

Le premier terme est nul (intégrale du cosinus). Il reste :

D’où :

I.8. III./ Expression de

Dans le repère choisi, vaut donc :

ce qui peut aussi s’écrire

soit

Comme , alors :

Résultat final

On a :

avec

On a donc :

En utilisant le triple produit vectorielle, on peut réécrire cette équation en :

Résultat valable pour DL d’ordre 2 en

Résultat dans le cas d’un plan parallèle au disque : Voir page suivante.

Résultat pour un plan parallèle au disque

Dans ce cas on a :

Si l’on note O’ le projeté de O sur le plan P dans la direction , alors on peut dire que :

avec,

colinéaire à et dans le plan P

D’après l’équation générale on a donc :

soit

Prenons le produit vectoriel de la précédente équation par la normale au plan :

Le gradient est bien porté par le vecteur O’M…

Vérification dans le cas « général » de la validité de la formule

On cherche à prouver que le vecteur résultat trouvé ci dessus est tangent aux équipotentielles de radiosité.

Prenons comme repère où O’ est le projeté de O sur le plan, et où le premier axe est le projeté normé de la normale au disque sur le plan.

Dans ce cas, on a :

Si on considère la source comme ponctuelle, alors les équipotentielles de radiosité sont portées, après un échange d’énergie par les courbes de type :

soit dans notre cas par exemple :

ou encore

On a donc des courbes du type f(x,y) = 0 avec

Un vecteur orthogonal N à cette courbe peut être obtenu en dérivant f sur chacune des deux variables. On a donc :

Reste à vérifier que le produit scalaire entre ce vecteur et notre résultat est nul.

Commençons par calculer le vecteur gradient orthogonale proprement dit. On a :

Pour simplification on va s’intéresser au vecteur :

On a :

Alors :

Le produit scalaire donne :

Le troisième terme du second membre (après l’addition) se simplifie avec le troisième terme du premier membre. De même le premier terme du premier membre se simplifie avec le second terme du second membre.

Il reste :

Donc

CQFD