Introduction au projet HopfCombOp

Les algèbres de Hopf combinatoires sont des algèbres de Hopf dont une base est donnée par des objets combinatoires caractéristiques.

Elles peuvent être vues comme des généralisations de l'algèbre de Hopf des fonctions symétriques. Cette dernière joue un rôle important dans de nombreuses théories: représentations des groupes (caractères de groupes finis ou de groupes de Lie, fonctions sphériques de groupes complexes, réels ou p-adiques), en topologie algébrique (anneaux de cobordisme), en géométrie algébrique (calcul de Schubert) ou en physique mathématique (systèmes intégrables, opérateurs vertex).

On connaît depuis quelques années un certain nombre d'algèbres de Hopf non commutatives et/ou noncocommutatives reliées par des homomorphismes aux fonctions symétriques, et on connaît quelques exemples de constructions non triviales sur les fonctions symétriques, telles la règle de Littlewood-Richardson, qui se relèvent simplement dans l'une de ces algèbres.

Ces algèbres de Hopf combinatoires apparaissent dans des domaines en apparence très éloignés. Elles sont naturelles en théorie des opérades, où l'on sait depuis peu que chaque opérade algébrique vérifiant certaines conditions simples donne naissance à une algèbre de Hopf. Plusieurs de ces exemples proviennent de problèmes en K-théorie algébrique et en topologie algébrique. En combinatoire,elles apparaissent quand on cherche à relever en non commutatif des calculs de polynômes pour obtenir desinterprétations combinatoires de multiplicités. Enfin, depuis les travaux de Connes et Kreimer sur la renormalisation,de telles algèbres apparaissent régulièrement en physique mathématique.

Le point de vue opéradique a pour avantage d'inscrire ces algèbres de Hopf dans un cadre plus large et plus riche, celui des props, et de permettre ainsi de voir au-delà des algèbres de Hopf. Le point de vue combinatoire est étudié activement en France (Marne-la-Vallée), au Canada (C. Reutenauer à Montréal, N. Bergeron à Toronto), aux Etats-Unis (F. Sottile, M. Aguiar), en Grande Bretagne (M. Schocker).

La théorie des opérades a connu récemment un renouveau spectaculaire (Ginzburg, Kapranov, Loday) et fait l'objet de nombreux travaux. Outre des résultats théoriques, on peut aussi en attendre de nouveaux algorithmes permettant d'améliorer l'efficacité des logiciels d'aide à la recherche (bibliothèques de calcul formel) utilisés dans ces domaines, qui pourraient elles mêmes déboucher sur des applications en physique (calculs de séries de perturbation poussés à un ordre plus élevé qu'actuellement).

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