Algorithmes

On demande d’implanter les algorithmes de calculs suivants (dans ce qui suit rule est une règle quelconque):

1. Calcul de la valuation d’une grammaire (ce qui permet de vérifier la grammaire);

2. méthode rule.count_naive(self, n) qui calcule le nombre d’objets d’un poids donné n par la méthode naïve;

3. méthode rule.count(self, n) qui calcule le nombre d’objets de poids n par la méthode des séries génératrices;

4. méthode rule.list(self, n) qui calcule la liste des objets de poids n;

5. méthode rule.unrank(self, n) qui calcule le i-ème élément de la liste des objets de poids n, sans calculer la liste;

   Attention

   Note importante: en Sage la position dans une liste commence à 0;

6. méthode rule.random(self, n) qui choisit équitablement au hasard un objet de poids n (on utilisera rule.unrank(self, n, i) où i sera choisi aléatoirement).

Le calcul de la valuation est nécessaire aux étapes suivantes qui sont indépendantes. Je les ai néanmoins classé par ordre croissant de difficulté.

Calcul de la valuation

La valuation du non-terminal nt est la taille du plus petit objet qui en dérive. La valuation d’une grammaire est l’ensemble des valuations des terminaux. Elle vérifie les quatres règles suivantes:

• la valuation d’un Singleton est 1;
• la valuation d’un Epsilon est 0;
• la valuation de l’union Union des non-terminaux N_1 et N_2 est le minimum des valuations de N_1 et de N_2;
• la valuation du produit Prod des non-terminaux N_1 et N_2 est la somme des valuations de N_1 et de N_2;

Pour la calculer, on utilise l’algorithme de point fixe suivant. On part de la valuation V_0 (incorrecte) qui associe à chaque non-terminal la valeur \infty. En appliquant une fois non récursivement (pour éviter les boucles infinies) les règles précédentes à partir de V_0, on calcule une nouvelle valuation V_1. On calcule ensuite de même une valuation V_2 a partir de V_1. On recommence tant que la valuation V_n est différente de V_{n-1}. La valuation cherchée V := V_n est obtenue quand V_n=V_{n-1}.

Note

Si V(N) := V_n(N) = \infty pour un certain non terminal N, alors aucun objet ne dérive de ce non-terminal. On considère alors que la grammaire est incorrecte.

Par exemple, sur les arbres, le calcul se fait en 4 étapes:

n:	Tree	Leaf	Node
Règle:	\min(V_{n-1}(\text{Leaf}), V_{n-1}(\text{Node}))	1	V_{n-1}(\text{Tree})+ V_{n-1}(\text{Tree})
0	\infty	\infty	\infty
1	\infty	1	\infty
2	1	1	\infty
3	1	1	2
4	1	1	2
Final:	1	1	2

À faire:

7. Écrire un fonction init_grammar qui prend en paramètre une grammaire, qui appelle sur chaque règle de la grammaire la méthode set_grammar et qui implante l’algorithme de calcul de la valuation.

Comptage naïf du nombre d’objets

Le comptage du nombre d’objets de poids i se fait en appliquant récursivement les règles suivantes: Soit N un non-terminal. On note C_N(i) le nombre d’objet de poids i.

• si N est un Singleton alors C_N(1) = 1 et C_N(i)= 0 si i est différent de 1;

• si N est un Epsilon alors alors C_N(0) = 1 et C_N(i) = 0 si i est différent de 0;

• si N est l’union Union des non-terminaux N_1 et N_2 alors

  C_N(i)= C_{N_1}(i) + C_{N_2}(i)\,;

• si N est le produit Prod des non-terminaux N_1 et N_2

  C_N(i) = \sum_{k+l=i} C_{N_1}(k) + C_{N_2}(l)\,;

  Note

  Pour aller plus vite et éviter des boucles infinies, on ne considérera dans la somme précédente que les cas où k \geq V(N_1) et l \geq V(N_2), où V(N) désigne la valuation du non-terminal N. En effet, par définition C_N(i) = 0 si V(N) > i.

À faire:

8. Implanter pour chaque règle de grammaire une méthode count_naive qui compte le nombre d’objets d’une grammaire dérivant d’un non-terminal et d’un poids donné.

Calcul de la liste des objets

On applique récursivement les définitions des constructeurs Singleton, Epsilon, Union et Prod pour construire la liste des objets de taille i. En particulier, si N est le produit Prod des non-terminaux N_1 et N_2, la liste des objets dérivant de N et de poids i est la concaténation des listes de tous les produits cartésiens d’éléments dérivant de N_1 et de taille k et d’éléments dérivant de N_2 et de taille l, pour tous les couples k,l tels que k+l=i, k \geq V(N_1) et l \geq V(N_2) (comme précédemment V(M) désigne la valuation du non-terminal M).

Par exemple, pour obtenir les arbres de taille 3, on procède de la manière suivante

• Calcul de Tree = Union (Leaf, Node) avec i=3.

• Application de Leaf = Singleton Leaf avec i=3, on retourne la liste vide [];

• Application de Node = Prod(Tree, Tree) avec i=3. La valuation de Tree est 1. Il y a donc deux possibilités 3=1+2 ou 3=2+1.

  1. • Application de Tree = Union (Leaf, Node) avec i=2.
       • Leaf est vide avec i=2 on retourne la liste vide.
       • Application de Node = Prod(Tree, Tree) avec i=2. La valuation de Tree est 1. Une seule décomposition est possible 1+1. On appelle donc deux fois Tree avec i=1dots(Je n’écrit pas les appels récursifs) qui retourne la liste [Leaf]. On retourne donc la liste [Node(Leaf, Leaf)]
     • Application de Tree = Union (Leaf, Node) avec i=1. On retourne la liste [Leaf]

     Le produit cartésien des deux listes précédentes est la liste formée du seul élément [Node(Node(Leaf, Leaf), Leaf)]

  2. • Application de Tree = Union (Leaf, Node) avec i=1. On retourne donc la liste [Leaf]
     • Application de Tree = Union (Leaf, Node) avec i=2. On retourne donc la liste [Node(Leaf, Leaf)]

     Le produit cartésien des deux listes précédentes est la liste formée du seul élément [Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf))]

  On retourne donc la liste des deux arbres:

  [Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf)), Node(Node(Leaf, Leaf), Leaf)]
  

Pour i=6, il faut essayer les décompositions 6=5+1, 6=4+2, 6=3+3, 6=2+4 et 6=1+5. Étudions le cas 3+3. Par appel récursif on trouve deux arbres de poids 3:

[Node(Node(Leaf, Leaf), Leaf); Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf))]

Le produit cartésien est donc formé de 4 éléments qui correspondent aux 4 arbres suivants:

Node(Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf)), Node(Node(Leaf, Leaf), Leaf));
Node(Node(Node(Leaf, Leaf), Leaf), Node(Node(Leaf, Leaf), Leaf));
Node(Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf)), Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf)));
Node(Node(Node(Leaf, Leaf), Leaf), Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf)));

Calcul à l’aide des séries génératrices

En sage, chaque variable formelle doit être déclarée à l’aide de la commande var. On peut ensuite manipuler des expressions où la variable apparaît. Voici par exemple la résolution à la main du cas des arbres binaires:

sage: var("tr")
sage: sys = [tr == x + tr*tr]
sage: sol = solve(sys, tr, solution_dict=True)
sage: sol
[{tr: -1/2*sqrt(-4*x + 1) + 1/2}, {tr: 1/2*sqrt(-4*x + 1) + 1/2}]

On a alors deux solutions:

sage: s0 = sol[0][tr]
sage: s1 = sol[1][tr]
sage: taylor(s0, x, 0, 5)
14*x^5 + 5*x^4 + 2*x^3 + x^2 + x
sage: taylor(s1, x, 0, 5)
-14*x^5 - 5*x^4 - 2*x^3 - x^2 - x + 1

Pour trouver quelle est la bonne on peut remplacer x par zéro:

sage: s0.subs(x=0), s1.subs(x=0)
(0, 1)

Dans le cas où la série est une fraction rationnelle, on sait que le dénominateur encode la récurrence. Ceci permet un calcul beaucoup plus rapide. Pour savoir si une expression est une fraction rationnelle, il faut la factoriser, extraire le numérateur et le dénominateur et vérifier que ce sont bien des polynômes.

Note

Dans le cas des arbres binaires, cette méthode ne marche pas

sage: s0
-1/2*sqrt(-4*x + 1) + 1/2
sage: s0.factor().numerator().is_polynomial(x)
False

Voici un exemple d’une fraction rationnelle:

sage: ex = x*2/(2*x^2+x+1) + 2*x+1
sage: ex = ex.factor(); ex
(4*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 1)/(2*x^2 + x + 1)
sage: ex.numerator().is_polynomial(x)
True
sage: ex.denominator().is_polynomial(x)
True

On peut alors extraire les coefficients:

sage: ex.denominator().coefficients(x)
[[1, 0], [1, 1], [2, 2]]

À faire:

9. Écrire une fonction qui transforme une grammaire en un système d’équations sur des séries génératrices.

Puisque la grammaire est supposée rationnelle, le système ainsi obtenu est linéaire. La fonction solve permet de résoudre un tel système, elle fonctionne essentiellement par pivot de Gauss. La solution est alors une fraction rationnelle.

10. À l’aide de la fonction précédente, ajouter une méthode generating_series aux différentes classes représentant les règles de grammaire.

La fonction taylor permet alors de calculer les premiers coefficients. Pour calculer les suivants, on utilise le fait que le dénominateur encode une récurrence vérifiée par les coefficients de la série. Ainsi, si

f(X) = \sum_{i \geq 0} f_i X^i = \frac{N(X)}{D(X)} = \frac{N(X)}{c_0 + c_1 X + c_2 X^2 + \dots + C_d X^d}

et si n est supérieur au degré du numérateur, alors le coefficient de X^n de f(X) D(X) est nul. On peut sans perte de généralité supposer c_0=1. On obtient donc les équations pour tout n>\deg(N(X)),

\sum_{i=0}^{d} c_i f_{n - i} = 0 \qquad\text{soit}\qquad f_n = -\sum_{i=1}^{d} c_i f_{n - i}

11. Écrire une méthode qui calcule les coefficients de la série en utilisant la récurrence.

Il est possible d’abaisser la complexité du calcul de f_n utilisant une matrice. En effet, la récurrence s’écrit

\begin{split}\begin{pmatrix} f_{n} \\ f_{n-1} \\ f_{n-2} \\ \vdots \\ f_{n-d+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -c_1 & -c_2 & \dots & -c_{d-1} & -c_d \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_{n-1} \\ f_{n-2} \\ f_{n-3} \\ \vdots \\ f_{n-d} \end{pmatrix}\end{split}

Pour calculer coefficient f_n il suffit donc d’élever la matrice à la puissance n par exponentiation binaire.

12. Écrire une fonction qui calcule le coefficient de X^n d’une fraction rationnelle par la méthode matricielle.

Calcul du i-ème élément : la méthode unrank

Pour calculer l’élément de taille n et de rang i, on fait appel à la méthode unrank. Voici par exemple l’arbre de taille 6 et de rang 12:

sage: treeGram['Tree'].unrank(6, 12)
Node(Leaf, Node(Node(Node(Leaf, Node(Leaf, Leaf)), Leaf), Leaf))

Attention

La numérotation commence à zéro.

On procédera récursivement comme suit:

• si l’on demande un objet dont le rang est supérieur au nombre d’objet on lève une exception ValueError.

• dans le cas EpsilonRule ou SingletonRule, on retourne l’objet.

• dans le cas d’une union: "U" : UnionRule("A", "B"), on suppose connu les nombres d’objets: C_U(n) = C_A(n) + C_B(n). Alors l’objet de U de rang i est l’objet de A de rang i si i<C_A(n) et l’objet de B de rang i-C_A(n) sinon.

• dans le cas d’un produit: "U" : ProductRule("A", "B"), on suppose connu les nombres d’objets:

  C_U(n) = \sum_{i=0}^n C_A(i)\,C_B(n-i)\,.

  En s’inspirant de l’union, on calcule la valeur de i:

  U(n) = \bigsqcup_{i=0}^n A(i) \times B(n-i)\,.

  Il reste finalement à trouver l’élément de rang j d’un produit cartésien d’ensemble A\times B où A=\{a_1,\dots,a_k\} est de cardinalité k et B=\{b_1,\dots,b_l\} est de cardinalité l. Si l’on choisi l’ordre lexicographique pour énumérer A\times B:

  \{(a_1, b_1), (a_1, b_2), \dots, (a_1, b_l), (a_2, b_1), \dots, (a_2, b_l), \ \dots\ , (a_k, b_1), \dots, (a_k, b_l)\}

  alors l’élément j est (a_{r}, b_{q}) où q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de j par k que l’on peut calculer en sage par la méthode quo_rem des entiers.

  Par exemple, pour les arbre de taille 7:

  i	0	1	2	3	4	5	6	7
  C_A(i)\ C_B(n-i)	0	42	14	10	10	14	42	0

  Ainsi, si l’on veut l’arbre de rang 73, comme 73 = 0+42+14+10+7. On prendra i=4 et l’on retournera l’arbre de rang j=7 du produit cartésien \text{Tree}(4) \times \text{Tree}(7-4)\dots On a maintenant j=7, k=5, l=2. On retournera donc l’arbre Node(u,v) où u est l’arbre de taille 4 et de rang 2 et v l’arbre de taille 3 de rang 1.

À faire:

13. Écrire une méthode unrank qui calcule l’élément de taille n et de rang i.