{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "da8cb23a-a85e-477d-95cb-7b1d95912579",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# L3 - MPI \n",
    "## TP noté du 18/12/2025 "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "823ff632-b6fb-496f-9485-67dbdb7d2c0a",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 1\n",
    "\n",
    "Pour chacune des suites récurrentes suivantes :\n",
    "\n",
    "a) $u_n = u_{n-1}+6u_{n-2},\\quad u_0=1,\\ u_1=2$.\n",
    "\n",
    "b) $v_n = 2v_{n-1}-v_{n-2},\\quad v_0=2,\\ v_1=-1$.\n",
    "\n",
    "1) Écrire une fonction calculant la suite et afficher ses 8 premiers termes.\n",
    "2) Trouver une expression de la série génératrice de la suite. Vérifierz votre résultat en affichant un développement limité de la fonction obtenue.\n",
    "3) En déduire une formule explicite pour le terme général de la suite. Programmez cette formule et vérifiez votre résultat."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "eb831fe2-571e-4961-8635-25fbcd979478",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 2\n",
    "Les polynômes d'Euler $E_n(t)$ sont définis par la série génératrice exponentielle\n",
    "$$\\sum_{n\\ge 0}E_n(t)\\frac{x^n}{n!}=\\frac{2e^{tx}}{e^x+1}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "1) Calculer $E_n(t)$ pour $n\\le 8$.\n",
    "2) On pose $$A_p(n) = \\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k^p.$$ Écrire une fonction `A(p,n)` calculant cette somme et afficher ses valeurs pour $p=3$ et $n$ de 1 à 8.\n",
    "3) En formant la série génératrice exponentielle $${\\mathcal A}(x,n)=\\sum_{p\\ge 0}A_p(n)\\frac{x^p}{p!},$$ montrer que $$A_p(n)=\\frac12(E_p(n+1)-E_p(1)).$$\n",
    "4) En utilisant les polynômes calculés en 1), recalculer $A_3(n)$ pour $n$ de 1 à 8 et comparer avec les résultats de la question 2)."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "7d2709b1-a91f-4dfb-9242-20713df09a81",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 3\n",
    "\n",
    "Montrer que\n",
    "$$n=47125446914534694131579097993419809976955095716785201420286055195012674566357244479460731079205201122720511132925006540350105785156086431086764996857554304847155991333706718342307167456986269662311038377104760933477381254100896222805785374204495333936040246318307567782851014765052850751581472024524956029996236801$$\n",
    "n'est pas premier."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "23938c10-3e24-441a-8955-8b06175f533a",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 4\n",
    "\n",
    "Trouver les plus petit entier $x$ vérifiant\n",
    "$$\\begin{cases}\n",
    "x \\equiv 1 &\\mod 11\\\\\n",
    "x \\equiv 3 &\\mod 13\\\\\n",
    "x \\equiv 5 &\\mod 20\\\\\n",
    "x \\equiv 7 &\\mod 29\n",
    "\\end{cases}\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "2b8e9448-aec3-41b9-b2a3-cf2dbb2cfdb4",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 5\n",
    "Montrez sans utiliser l'ordinateur que $2^{10000}+3^{10000}-2$ est divisible par $101$, puis vérifiez avec la machine."
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.11.7"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}