\documentclass[twocolumn,a4paper]{article}
\usepackage{french,tp}
\usepackage{amstex}
\begin{document}



\begin{header}
\Huge Université Paris 7. IF122 \\
\Huge TD Géométrie.
\bigskip
\end{header}

%\begin{center}
%\sc Notions étudiées
%\end{center}
\section*{Géométrie}
\Exo
On se donne trois points $A$, $B$, $C$ non-alignés.
\'Etant donné un point $M_0$, on construit son image
$M_1$ par le demi-tour de centre $A$, puis l'image
$M_2$ de $M_1$ par le demi-tour de centre $B$, puis
l'image $M_3$ de $M_2$ par le demi-tour de centre $C$.
\`A quelle condition a-t-on $M_3=M_0$ \,?

\Exo
Montrez que la composée de deux demi-tours
est une translation dont on donnera le vecteur.
Donner deux preuves de ce résultat, une analytique,
l'autre géométrique.

\Exo
On se donne quatre points $A$, $B$, $C$, $D$  non-alignés.
\'Etant donné un point $M_0$, on construit son image
$M_1$ par le demi-tour de centre $A$, puis l'image
$M_2$ de $M_1$ par le demi-tour de centre $B$, puis
l'image $M_3$ de $M_2$ par le demi-tour de centre $C$,
et enfin l'image $M_4$ de $M_3$ par le demi-tour de centre
$D$.
\`A quelle condition a-t-on $M_4=M_0$ \,?

\medskip

\section*{Groupes}
\Exo
Un groupe est un ensemble muni d'une loi
(on la notera de fa\c{c}on multiplicative) telle
qu'il existe un élément neutre noté $e$ et telle
que chaque élément $g$ admet un inverse noté
$g^{-1}$. Un élément est d'ordre fini s'il existe
un entier $n \geq 1$ tel que $g^n=e$.

$\bullet$
Montrer que les isométries du plan forment un groupe.

$\bullet$
Quelles sont les isométries qui sont d'ordre fini \,?
Quelles sont celles qui sont d'ordre infini\,?

$\bullet$
Montrer que dans un groupe ou un sous-groupe fini,
tout élément est d'ordre fini.


Le sous-groupe engendré par un élément $g$ est
noté $<g>$. C'est le plus petit sous-groupe
contenant $g$. 

$\bullet$
Quelle est la forme d'un élément de $<g>$\,?
Comme s'écrit $<g>$ lorsque $g$ est d'ordre 
fini. 


Un homomorphisme de groupes est une application $f$
d'un groupe $G_1$ dans un groupe $G_2$ telle que
$f(e_{G_1})=e_{G_2}$ et $f(gh)=f(g)f(h)$ pour tous
les éléments $g,h$ de $G_1$. 

$\bullet$
Montrer que dans ce cas l'image de l'inverse d'un 
élément est l'inverse de l'image de cet élément.

$\bullet$
Montrer que les conditions sont équivalentes
à $f(gh^{-1})$ $=f(g)f(h)^{-1}$.

$\bullet$
Montrer que l'application $f_g$ qui a tout élément
$h$ associe $ghg^{-1}$ est un isomorphisme
de groupe.

$\bullet$
Montrer que les rotations de centre $O$ forment
un sous-groupe $R$ du groupe des isométries.

$\bullet$
Montrer que si $t$ est une translation, l'application
qui à $rot_{(O, \alpha)}$ associe  $t \circ rot_{(O, \alpha)} \circ t^{-1}$
est un isomorphisme du sous-groupe $R$.
\newpage

\section*{Géométrie vectorielle}
\Exo
$\bullet$
Montrer que toute isométrie $i$ se décompose
sous la forme $t \circ v$, où $t$ est une
translation et $v$ une isométrie qui laisse
invariante l'origine. 

$\bullet$
\'Etant donnée une transformation qui envoie
un point $M(x,y)$ sur un point $M'(x',y')$ avec\,:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
             x'=a_1x+b_1y+c_1 \\
             y'=a_2x+b_2y+c_2
        \end{array}
\right.
\]
L'image d'un vecteur $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$
est le vecteur $\vec{u'}=\overrightarrow{A'B'}$.
Montrer que  $\vec{u'}$ ne dépend que de $a_1,b_1,
a_2,b_2$. Plus précisement, on montrera que
$\vec{u'}$ est obtenu en multipliant la matrice
$2 \times 2$ $A$ suivante par le vecteur $\vec{u}$\,:
\[
A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\
               a_2 & b_2 \\
\end{pmatrix}
\]
$\bullet$
On cherche des conditions sur les coefficients 
$a_i$ et $b_i$ pour que la transformation
qui à $M$ associe $M'$ soit une isométrie.
Ecrire que dans ce cas, $||\vec{u}||^2=||\vec{u'}||^2$.
En déduire que \,:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
             a_1^2+a_2^2 = 1 \\
             b_1^2+b_2^2 = 1 \\ 
             a_1b_1+a_2b_2 =0
        \end{array}
\right.
\]
En déduire que l'on a également \,:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
             a_1^2+b_1^2 = 1 \\
             a_2^2+b_2^2 = 1 
        \end{array}
\right.
\]

$\bullet$
Le déterminant de la matrice $A$ est noté
$\mbox{det}(A)$. C'est par définition \,:
\[
\mbox{det}(A)=a_1b_2-a_2b_1
\]
L'inverse de la matrice $A$ lorsqu'elle
est inversible (c'est le cas si elle
provient d'une isométrie) est \,:
\[
A^{-1}=\frac{1}{\mbox{det}(A)}
    \begin{pmatrix} b_2 & -b_1 \\
               -a_2 & a_1 \\
    \end{pmatrix}
\]
Le déterminant du produit de deux matrices
est égal au produit du déterminant de ces
matrices.
Montrer que le déterminant d'une isométrie
est égal à $+1$ ou à $-1$. On calculera
le carré du déterminant. Vérifier ce résultat
avec l'expression analytique des isométries
que vous connaissez (translations, symétries,
rotations, glissages). 

$\bullet$
Montrer que les isométries positives ont pour
déterminant $1$ et les isométries négatives
ont pour déterminant $-1$
%\begin{center}
%\sc À faire pendant le TP
%\end{center}

\end{document}