Université Paris 7. IF122 TD Géométrie.

Géométrie

Exercice 1.— On se donne trois points A, B, C nonalignés. Étant donné un point M_{0}, on construit son image M_{1} par le demi-tour de centre A, puis l’image M_{2} de M_{1} par le demi-tour de centre B, puis l’image M_{3} de M_{2} par le demi-tour de centre C. À quelle condition a-t-on M_{3} = M_{0} ?

Exercice 2.— Montrez que la composée de deux demi-tours est une translation dont on donnera le vecteur. Donner deux preuves de ce résultat, une analytique, l’autre géométrique.

Exercice 3.— On se donne quatre points A, B, C, D non-alignés. Étant donné un point M_{0}, on construit son image M_{1} par le demi-tour de centre A, puis l’image M_{2} de M_{1} par le demi-tour de centre B, puis l’image M_{3} de M_{2} par le demi-tour de centre C, et enfin l’image M_{4} de M_{3} par le demi-tour de centre D. À quelle condition a-t-on M_{4} = M_{0} ?

Groupes

Exercice 4.— Un groupe est un ensemble muni d’une loi (on la notera de façon multiplicative) telle qu’il existe un élément neutre noté e et telle que chaque élément g admet un inverse noté g^{−1}. Un élément est d’ordre fini s’il existe un entier n ≥ 1 tel que g^{n} = e.

• Montrer que les isométries du plan forment un groupe.

• Quelles sont les isométries qui sont d’ordre fini ? Quelles sont celles qui sont d’ordre infini ?

• Montrer que dans un groupe ou un sous-groupe fini, tout élément est d’ordre fini. Le sous-groupe engendré par un élément g est noté < g >. C’est le plus petit sous-groupe contenant g.

• Quelle est la forme d’un élément de < g >? Comme s’écrit < g > lorsque g est d’ordre fini. Un homomorphisme de groupes est une application f d’un groupe G_{1} dans un groupe G_{2} telle que f(e_{G_{1}}) = e_{G_{2}} et f(gh) = f(g)f(h) pour tous les éléments g, h de G_{1}.

• Montrer que dans ce cas l’image de l’inverse d’un élément est l’inverse de l’image de cet élément.

• Montrer que les conditions sont équivalentes à f(gh^{−1}) = f(g)f(h)^{−1}.

• Montrer que l’application f_{g} qui a tout élément h associe ghg^{−1} est un isomorphisme de groupe.

• Montrer que les rotations de centre O forment un sous-groupe R du groupe des isométries.

• Montrer que si t est une translation, l’application qui à rot_{(O,α)} associe t∘rot_{(O,α)}∘t^{−1} est un isomorphisme du sous-groupe R.

Géométrie vectorielle

Exercice 5.— • Montrer que toute isométrie i se décompose sous la forme t∘v, où t est une translation et v une isométrie qui laisse invariante l’origine.

• Étant donnée une transformation qui envoie un point M(x, y) sur un point M′(x′, y′) avec :

\{ \begin{matrix}x′ = a_{1}x + b_{1}y + c_{1} \\ y′ = a_{2}x + b_{2}y + c_{2} \end{matrix}

L’image d’un vecteur u⃗ = \overrightarrow{AB} est le vecteur u⃗′ = \overrightarrow{A′B′}. Montrer que u⃗′ ne dépend que de a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}. Plus précisement, on montrera que u⃗′ est obtenu en multipliant la matrice 2 × 2 A suivante par le vecteur u⃗:

A = (\begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix})

• On cherche des conditions sur les coefficients a_{i} et b_{i} pour que la transformation qui à M associe M′ soit une isométrie. Ecrire que dans ce cas, ||u⃗||^{2} = ||u⃗′||^{2}. En déduire que :

\{ \begin{matrix}a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 1 \\ b_{1}^{2} + b_{2}^{2} = 1 \\ a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0 \end{matrix}

En déduire que l’on a également :

\{ \begin{matrix}a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = 1 \\ a_{2}^{2} + b_{2}^{2} = 1 \end{matrix}

• Le déterminant de la matrice A est noté det(A). C’est par définition :

det(A) = a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}

L’inverse de la matrice A lorsqu’elle est inversible (c’est le cas si elle provient d’une isométrie) est :

A^{−1} = \frac{1}{det(A)} (\begin{matrix}b_{2} & −b_{1} \\ −a_{2} & a_{1} \end{matrix})

Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit du déterminant de ces matrices. Montrer que le déterminant d’une isométrie est égal à +1 ou à −1. On calculera le carré du déterminant. Vérifier ce résultat avec l’expression analytique des isométries que vous connaissez (translations, symétries, rotations, glissages).

• Montrer que les isométries positives ont pour déterminant 1 et les isométries négatives ont pour déterminant −1